Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике

Представлен обзор современного состояния вопроса о возможности реализации структурно устойчивого хаоса, обусловленного присутствием однородно гиперболических аттракторов, таких как соленоид Смейла — Вильямса, DA-аттрактор Смейла, аттракторы типа Плыкина, в физических системах. Книга содержит двадцать глав, скомпонованных в виде пяти частей. В первой части рассмотрены основные концепции теории динамических систем, необходимые для понимания материала книги, включая понятия аттрактора, отображения Пуанкаре, гиперболичности, показателей Ляпунова. Вводятся в рассмотрение и обсуждаются классические математические конструкции однородно гиперболических аттракторов. Представлен обзор содержательной части гиперболической теории (критерий конусов, структурная устойчивость, марковские разбиения и символическая динамика, меры Синая — Рюэля — Боуэна и т.д.). Дан обзор литературы, затрагивающей различные возможные ситуации появления однородно гиперболических аттракторов в динамических системах. Во второй части книги вводятся примеры систем с однородно гиперболическими аттракторами, функционирующих под действием периодических импульсных толчков и систем, динамика которых составлена из периодически чередующихся стадий, отвечающих той или иной специальной форме дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено системам, построенным на базе колебательных элементов, которые возбуждаются по очереди благодаря модуляции параметров, обусловленной внешним воздействием или собственной динамикой системы. Третья часть посвящена методам компьютерной проверки гиперболической природы аттракторов и иллюстрациям их применения (критерий конусов, распределение углов пересечения многообразий, визуализация распределений вероятности на аттракторе). В четвертой части рассматриваются модельные системы более высокой размерности. В частности, обсуждаются некоторые классы распределенных систем: системы с нелинейным преобразованием сигнала и запаздыванием в цепи обратной связи и модель, реализующая гиперболический хаос в динамике пространственных структур типа Тьюринга. Последняя, пятая часть книги посвящена примерам гиперболических аттракторов в электронных устройствах, моделируемых в схемотехнической программной среде, и наблюдению таких аттракторов в лабораторных экспериментах. Книга включает приложения, где рассмотрены вопросы, дополняющие или проясняющие отдельные моменты основного изложения. В частности, обсуждается хаотическая динамика в отображениях Эно и Икеды, неголономная механическая задача о «кельтском камне», конструкция подковы Смейла и явление гомоклинического сплетения, размерности аттракторов и формула Каплана — Йорке, формальная модель потоковой системы с аттрактором типа Плыкина, введенная Хантом.